Jaký je základní rozdíl mezi konečnou sadou a nekonečnou sadou?


Odpověď 1:

Píšu zde základní rozdíl mezi 3 kategoriemi ..

1: Konečná sada

2: Countable Infinite Set

3: Nespočet nekonečné sady ..

Můžeme rozlišit výše uvedené 3 kategorie pouhým zkontrolováním jejich počítatelnosti. Jde ale o to, jak zkontrolovat počitatelnost…

V FINITE SETS jsou samozřejmě prvky počítatelné, např .: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x patří do N} atd. Ve všech těchto příkladech je mohutnost velmi jasná.

Ale v INFINITE SETS: prvky lze potenciálně spočítat nebo je nelze spočítat. Jako bychom začínali s nekonečnou sadou s nejmenší mohutností…

Sada přirozených čísel N-> Nekonečná, spočítatelná

Sada celých čísel W-> Nekonečná, spočítatelná

Sada celých čísel Z -> Nekonečná, spočítatelná

Sada racionálních čísel Q -> Nekonečná, spočítatelná

Sada iracionálních čísel I -> Nekonečná, nespočetná

Sada reálných čísel R -> Nekonečná, nespočetná

Nekonečná množina je spočítatelná, existuje-li bijektivní mapování, tj. Existuje mezi jednotlivými elementy množiny a přirozeným číslem vzájemná korespondence. To znamená, že jsme schopni uspořádat prvky sady do jednoduchého jednoho řádku nebo do řádků a sloupců. & jsme si jisti, které číslo přijde dál. A přirozené číslo je moudré, že můžeme uspořádat prvky .. jako 1. prvek, 2. prvek, 3. prvek ……… atd.… Jediné, co tyto řádky a sloupce pokračují do nekonečna …….

Například… přirozená čísla 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. nekonečno

Celá čísla O, 1,2,3,4,5, ………… nekonečno

Celá záporná nekonečno… .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 …… nekonečno

Odůvodnění 1/1, 1 / 2,1 / 3,1 / 4, …… ..

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Pokud budeme pokračovat tímto způsobem, můžeme si všimnout, že všechny možné zlomky se vejdou do výše uvedeného seznamu do jednoho nebo dalších řádků a sloupců.

Takže všechny výše jsou nesčetné nekonečné množiny.

Nyní, jak víme, že množina reálného čísla je spojením dvou sad, racionálů a iracionálů

Sada reálných čísel je nespočetná, protože mezi každým 2 reálnými čísly existuje další racionální a iracionální čísla, takže bijektivní mapování mezi elementy a přirozenými čísly není možné.

Takže množina reálných čísel je nespočetná a sada racionálů je spočítatelná. Takže soubor iracionálních musí být nespočetný. Pokud tomu tak není, sada reálných čísel se stane počitatelnou, což není tak…


Odpověď 2:

Pokud máme konečnou množinu a spočítáme její prvky (tj. Spojíme je jeden s jedním s přirozenými čísly), pak se počítání skončí a odpovídající přirozené číslo, kterým jsme skončili, je počet prvky v sadě.

Pokud máme nekonečnou množinu a počítáme její prvky, pak se počítání nekončí. Neexistuje žádné přirozené číslo odpovídající počtu prvků v sadě.

To je základní rozdíl. Jinými slovy, prvky konečné množiny nemohou být spojeny jeden k jednomu se všemi prvky

N\mathbb N

. Nebo z technického hlediska nedochází k injekci

N\mathbb N

do konečné sady, ale existuje taková injekce do nekonečné sady.

Každá nekonečná množina má také vlastnost, že některé její prvky mohou být odstraněny, a přesto může být výsledná podmnožina stále spojena jeden s druhým s původní sadou (např. Přirozená čísla mohou být spárována, jedna-k - jeden, s jeho podmnožinou sudých čísel). To není možné s konečnou sadou. Je to vlastně rozlišovací vlastnost: lze ji použít k definování zásadního rozdílu mezi konečnou sadou a nekonečnou množinou.


Odpověď 3:

Nekonečné sady lze vstřikovat do správné podmnožiny. Konečné sady nemohou.

Rozbalme to.

„Injekce“ z jedné sady do druhé znamená, že pro každý prvek v sadě „from“ vyberete jedinečný prvek v sadě „do“.

Například, vzhledem k sadě stran krychle a číslům 1–10, injekce ze stran na čísla by na každou stranu krychle dala jiné číslo. Pokud dáte 1 na dvě různé strany, nebude to injekce. Upozorňujeme, že injekce nevyžaduje, aby byly použity všechny prvky sady „do“. Při vstřikování ze stran krychle do 1–10 se nepoužívaly čtyři čísla.

„Správná podmnožina“ sady má všechny její prvky v sadě, ale ne všechny prvky v sadě jsou v podmnožině. Například sada 1-ciferných prvočísel je správná podmnožina 0–9, protože 2,3,5 a 7 jsou všechny v 0–9, ale 8 není v sadě jednociferných prvočísel.

Pojďme se podívat na „přirozená čísla“ a „dokonce přirozená čísla“. Je zřejmé, že všechna sudá přirozená čísla jsou přirozená čísla, takže evens jsou podmnožinou přirozených. Je také jasné, že 3 je přirozené číslo, které není ani sudé. Evens je tedy správnou podmnožinou přírodních zdrojů.

Každé přirozené číslo však může být spojeno s jedinečným i přirozeným číslem. Ty máš

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Toto mapování je injekce.

To znamená, že přirozená čísla jsou nekonečná množina.

Jako další příklad zvažte sadu řetězců konečných délek písmen. Tato sada vypadá

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, ačkoli jsem je nedal do žádného zvláštního pořadí. Jedním z prvků sady je řetězec skládající se z písmene „a“, které se opakuje v časech googleplex. Nyní zvažte soubor

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

nebo soubor řetězců vytvořených přijetím každého řetězce

Σ\Sigma^*

a vložit do něj písmeno „b“. Tak

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, včetně řetězce skládajícího se z písmene „b“, za kterým následuje googleplexní písmena „a“. Protože každý prvek

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Další dvě odpovědi hovoří o „počitatelných“ a „nespočetných“ sadách, které se ve skutečnosti podstatou věci nedostanou. Zhruba řečeno, množina je „spočítatelná“, když ji lze vstoupit do množiny přirozených čísel. Všechny konečné množiny jsou spočítatelné, množina přirozených čísel je zjevně spočítatelná podle této definice,

Σ\Sigma^*

je spočítatelné.

Matematik Georg Cantor dokázal, že je nemožné vložit do sady mocninu (množinu všech podmnožin) - nemůžete injektovat

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

do

{1,2}\{1,2\}

například. To znamená, že si nemůžete vstříknout

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, proto

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

není možné spočítat nebo je nelze spočítat. Některé nekonečné množiny jsou tedy spočítatelné a některé nekonečné množiny jsou nespočetné.

Představa, že nekonečná množina může být vstříknuta do správné podmnožiny sama o sobě, je ve skutečnosti definicí toho, co to znamená pro nekonečnou množinu.