Existuje konkrétní rozdíl mezi dvojitým integrálem a iterovaným integrálem?


Odpověď 1:

Povrchový integrál vs Iterovaný integrál:

Povrchový integrál je integrál, kde je funkce integrována nebo vyhodnocena podél povrchu, který leží ve vyšším prostorovém prostoru. (Dvourozměrný) povrchový integrál je převzat do tvaru zabudovaného do prostorového prostoru.

Ale v Iterovaném integrálu může integrovat pouze funkci, která je ohraničena 2D oblastí s ohledem na infinitesimální oblast

To znamená, že můžeme vzít integrál povrchu koule, řekněme, ve třech rozměrech. Můžeme zmapovat povrch koule do roviny a pak vzít integrál.

Dalším příkladem by mohla být krychle ve 3D. Je zřejmé, že povrch krychle má 2D povahu, ale krychle samotná je vložena do 3D prostoru. Můžeme vzít integrál přes tuto plochu.

Takto můžete uvažovat o povrchových integrálech: pokud můžeme nějakým způsobem rozvinout, protáhnout, otáčet, řezat a ohýbat povrch nějakého tvaru, aby byl plochý, pak můžeme integrál povrchu převzít za hranice tvaru. Samotný tvar však nemusí být nutně plochý a rozhodně není dvourozměrný.

Iterovaný integrál může být pořízen pouze v dvourozměrném prostoru. To znamená, že můžeme převzít pouze oblast 2D prostoru. Jako čtverec nebo kruh nebo jakýkoli jiný tvar s vnitřkem.

Takže integrál povrchu může vést k iterovanému integrálu, pokud můžeme mapovat (natahovat, otáčet atd.) Povrch na dvourozměrný prostor, a naopak, pokud můžeme mapovat dvourozměrný prostor na povrch vyšší dimenze, pak můžeme vzít integrál povrchu! Je to pěkná symetrie mezi těmito dvěma povrchy pro dostatečně pěkné povrchy a tvary (i když povrchový integrál je obecnější, vezmeme-li v úvahu výjimečné případy).

Integrál povrchu se změní na integrovaný integrál, když je plocha promítnuta do oblasti libovolné roviny.


Odpověď 2:

V patologických případech záleží na pořadí integrace. Například

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, ale integrální změny se podepíší, pokud je pořadí obráceno. (Vzhledem k tomu, že integrál existuje a je nenulový, je zcela zřejmé, že se značka změní - výměna

xx

a

yy

.)

Ale k takové věci nedojde, pokud existuje dvojitý integrál. Takže dvojitý integrál musí být jemně odlišný. Dvojité integrály jsou definovány podobným způsobem jako jednotlivé integrály - rozdělte doménu a nechte kusy mít velikost nula. Opakovaný integrál je podobný, ale doména je rozdělena do mřížky obdélníků a šířky a výšky mají sklon k nule samostatně a na pořadí záleží.

Pokud víte o integraci Lebesgue, podívejte se na Fubini-Tonelliho věty.