Jaký je ve statistice rozdíl mezi testem pravděpodobnosti a obecným testem pravděpodobnosti?


Odpověď 1:

V souvislosti s odhadováním parametrů se test pravděpodobnosti (LRT) vztahuje pouze na jednoduché hypotézy, zatímco zobecněný test pravděpodobnosti (GLRT) lze použít, pokud není hypotéza jednoduchá. Jednoduchá hypotéza je taková, ve které je dotyčný parametr explicitně definován.

Jako příklad použití LRT předpokládáme, že populace následuje normální distribuci

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

a chceme otestovat nulovou hypotézu

H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0

a alternativní hypotéza:

H1:μ=μ1H_1: \mu = \mu_1

. Pak je statistika testu LRT

λ(X)=L(μ1X)L(μ2X).\lambda(X) = \frac{L(\mu_1|X)}{L(\mu_2|X)}.

Jako příklad použití GLRT předpokládáme, že populace následuje normální distribuci

N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

a chceme otestovat nulovou hypotézu

H0:μ>0H_0: \mu > 0

a alternativní hypotéza:

H1:μ0H_1: \mu \leq 0

. Všimněte si, že hypotéza, která se má testovat, již není jako příslušný parametr jednoduchá (

μ\mu

) není explicitně definováno jako číslo, jaké bylo ve výše uvedeném příkladu. V tomto případě je statistika testu GLRT

λ(X)=supμΘL(μX)supμΘ0L(μX).\lambda(X) = \frac{\text{sup}_{\mu \in \Theta}{L(\mu|X)}}{\text{sup}_{\mu \in \Theta_0}{L(\mu|X)}}.

Intheaboveexpression,Θisthesetofallpossible[math]μ[/math]value(itiscalledtheparameterspace),and[math]Θ0[/math]isthesetofallpossible[math]μ[/math]valueswhere[math]μ>0[/math](thisisasubsetoftheparameterspace). In the above expression, \Theta is the set of all possible [math]\mu[/math] value (it is called the parameter space), and [math]\Theta_0[/math] is the set of all possible [math]\mu[/math] values where [math]\mu > 0[/math] (this is a subset of the parameter space).

Také v obou příkladech

XX

je ukázková data, která se používají k odhadu parametru

μ\mu

, a

LL

je funkce pravděpodobnosti.