Je-li součet čtverců dvou čísel 80 a druhá mocnina rozdílu mezi těmito dvěma čísly je 36, jaký je výsledek dvou čísel?


Odpověď 1:

Odpověď je 22.

Nechť dvě čísla jsou x, a y.

Uvedené podmínky jsou:

  • Součet čtverců dvou čísel je 80.x² + y² = 80. Čtvereček rozdílu mezi těmito dvěma čísly je 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Vezměte druhou podmínku a odvozte hodnotu pro x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Nahraďte x² v prvním stavu odvozenou hodnotou.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Výsledkem těchto dvou čísel (x, y) je tedy 22.


Odpověď 2:

První podmínka:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Druhá podmínka:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Z druhé podmínky:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Nahrazení první podmínky:

802ab=3680-2ab=36

, reorganizace

2ab=8036=442ab=80-36=44

Tak

2ab=442ab=44

a

ab=22ab=22

.

Odpověď: produkt je 22.

V případě, že chcete vyřešit celý systém: rozdíl je

36=6\sqrt{36}=6

a produkt je

2222

, tak pro

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Takže pokud dostaneme řešení pro

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

můžeme problém vyřešit.

Řešení pro

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

je

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Tak

a=31+3a=\sqrt{31}+3

a

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Je snadné prokázat, že tato dvě čísla splňují podmínky otázky a odpovědi.


Odpověď 3:

První podmínka:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Nahrazení první podmínky:

319=2231–9=22

, reorganizace

x2+y2=80x^2+y^2=80

Tak

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

a

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

V případě, že chcete vyřešit celý systém: rozdíl je

36=6\sqrt{36}=6

a produkt je

2222

, tak pro

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Takže pokud dostaneme řešení pro

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

můžeme problém vyřešit.

Řešení pro

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

je

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Tak

a=31+3a=\sqrt{31}+3

a

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Je snadné prokázat, že tato dvě čísla splňují podmínky otázky a odpovědi.